任意质量的三个星球在重力作用下如何运动？牛顿1687年提出的这个著名的“三体问题”，三百余年来得到国际学术界的广泛关注，成为历史上最著名的科学问题之一。根据Montgomery提出的三体问题周期轨道的拓扑分类法，自1687年到1993年三百余年内，仅发现三体问题三个周期轨道家族，即：（1）Euler–Lagrange家族（精确解，欧拉1740年，拉格朗日1772年），（2）BBH家族（数值解，Broucke 1975年，Broucke 和 Boggs 1975年，Hadjidemetriou 1975年，Hénon 1976年）（3）Figure-8家族（数值解，Moore 1993年）。为什么三体问题周期轨道如此难找？1890年庞加莱发现，三体系统的运动轨迹一般不存在第一类积分（即解析解一般情况下不存在），且对初始条件非常敏感：任何微小扰动都会被指数放大，导致其轨迹与真解的迅速分离。这种轨迹对微小扰动的敏感性，1963年被Lorenz再次发现，并提出著名的“蝴蝶效应”。该特性的发现标志着“混沌动力学”的诞生，它与量子力学、相对论被认为是20世纪最伟大的三大物理理论之一。正是因为三体问题本质上的混沌性，导致即使采用传统的数值方法也很难在一个较长时域内获得三体系统的准确轨道。这很好地解释了，为什么自牛顿1687年提出三体问题后三百余年，仅仅发现三体问题三族周期轨道。
众所周知，任何数值计算都存在误差。1989年Lorenz发现，由于“蝴蝶效应”，微小的数值误差作为一种人为的小扰动，同样会导致混沌系统数值解（轨迹）的迅速偏离。特别是，Lorenz发现，如果采用双精度（double precision）数值求解混沌动力系统，无任时间步长多么短，混沌系统的轨迹都不收敛。这很好地解释了，为何在2013年计算机性能达到每秒100亿亿次量级时，仅发现三体问题11族新的周期轨道。
2009年上海交通大学廖世俊提出一个数值求解混沌动力系统收敛轨迹的策略，即Clean Numerical Simulation (CNS)。CNS不仅减少数值模拟的截断误差，还采用多精度数据 (multiple precision) 代替双精度（double precision），将整个数值误差降到任意小，从而可以在一个足够长的时域内获得混沌系统收敛的数值解。因此，CNS在理论上为准确获得三体问题的周期轨道铺平了道路。2017年，廖世俊团队将CNS与搜寻法和Newton–Raphson迭代法相结合，成功获得等质量、零角动量的三体问题695族周期轨道（Science China – Physics, Mechanics & Astronomy, 2017），其中包括 Šuvakov 和 Dmitrašinović 2013年发现的11族（周期均小于100）周期轨道，466族周期轨道的周期都大于100，从未见报道。2018年廖世俊团队与上海交通大学物理和天文学院景益鹏院士合作，应用CNS和搜寻法以及Newton–Raphson迭代法，进一步成功获得两个质量相等、角动量为零的三体系统1349族新周期解 ( Publications of the Astronomical Society of Japan, 2018 )。对于任意不等质量的三体问题，2021年廖世俊与李晓明等合作将CNS与comtinuation method和Newton–Raphson迭代法相结合，从一个已知的、具有相同质量的三体问题周期轨道出发，成功获得该三体系统任意不等质量的135445个周期解（Science China – Physics, Mechanics & Astronomy, 2021），将三体问题周期轨道数量增加了几个数量级，证实了CNS求解三体问题周期轨道（特别是长周期轨道）的有效性。值得指出的是，与太阳-地球-月亮这样的分级结构（hierarchical）明显不同，这135445个周期轨道是非分级结构（non-hierarchical），而且很多都是稳定的，其质量范围与2019年诺贝尔物理奖获得者Michel Mayor 和 Didier Queloz所发现的太阳系外（具有分级结构的）第一个环绕类太阳恒星的行星相近，因此很有可能在宇宙中确实存在，有可能被天文学家观察到。
图一：利用机器学习寻找同一族三体系统不同星球质量的周期轨道。左下角红色区域为用传统方法获得的少数已知周期轨道。相同颜色表示同一次外插，机器学习可以找到的周期轨道之最大区域。m1和m2为两个星球质量（m3 = 1）
2022年，为了进一步大幅提高计算效率，廖世俊、李晓明、杨宇将CNS与机器学习和Newton–Raphson迭代相结合，利用前述传统方法获得的少数周期轨道之初始条件为初步训练集，应用机器学习给出星球质量外插时三体问题周期轨道初始条件的预估值，再用CNS高精度地获得星体运动收敛轨迹，用Newton–Raphson不断修正初始条件，迭代找到其精确周期轨道；并用每一次外插获得的所有新周期轨道组成一个更大的训练集，不断增加星球质量外插范围，同时不断改进机器学习模型对周期轨道初始值的预估精度，直至找到该族三体问题所有不同质量的周期轨道，如图1所示。最后，采用这样获得的所有周期轨道训练出的机器学习模型，对于（存在周期轨道之区域内）任意质量的三体问题都能足够精确地预测其周期轨道之初始条件、周期和稳定性，如图2所示。该基于CNS和机器学习的策略，将计算效率提高了几个数量级，为高效地获得三体问题的周期轨道提出了一个全新的路线图。该论文2022年在国际天文学杂志New Astronomy上发表（ https://doi.org/10.1016/j.newast.2022.101850 ），其相关机器学习程序和周期轨道可在GitHub ( https://github.com/sjtu-liao/three-body ) 免费下载。
值得特别指出的是，由于采用CNS，廖世俊团队及其合作者获得的（无因次）周期轨道达到60位有效精度：即使以宇宙直径（930光年）为特征长度，其初始位置的精度也达到1.0E-41米量级，远小于具有物理意义的最小长度 —— 普朗克长度 （1.62E-35米）。因此，从物理学观点而言，进一步提高计算结果的精度，没有任何物理意义，尽管采用CNS很容易做到这一点。所以，应用CNS获得的三体问题周期轨道之精度是如此之高，以至于其就是物理意义上的精确轨道。换言之，从物理上讲，应用CNS可以获得三体问题周期轨道的精确解！
廖世俊、李晓明、杨宇基于CNS和机器学习提出的求解三体问题周期轨道的路线图，将计算效率提高了几个数量级，为获得三体问题海量的、（物理意义上）精确的周期轨道铺平了道路。在拥有高性能计算机的今天，已经没有任何障碍，可以阻止人类获得三体问题海量的、（物理意义上）精确的周期轨道。三体问题的解决，本质上依赖高性能计算机和数学方法。回顾 “三体问题”这个著名难题三百余年的求解历史，人们不禁要感谢那些伟大的数学家、物理学家和工程技术人员，特别是创建“混沌动力学”的庞加莱，计算机和人工智能之父图灵，提出现代计算机体系结构的冯-诺伊曼，以及参与发明集成电路而获得2000年诺贝尔物理奖的Jack S. Kilby。三体问题周期轨道这个经典难题的解决，是理论和技术融合的典范。
三体问题周期轨道的求解，证实了CNS求解复杂混沌问题的有效性和潜力。理论上，CNS可应用于N体问题（N > 3）周期轨道的求解，星系演化的精确数值模拟，湍流的精确数值模拟，等等。
图二：机器学习预测的不同质量的三体问题周期解所模拟的周期轨道。蓝线：第一个星球；红线：第二个星球；黑线：第三个星球。
【作者简介】
廖世俊博士，上海交通大学，船舶海洋与建筑工程学院 讲席教授
上海交通大学物理和天文学院 兼职教授
李晓明博士，暨南大学，力学与建筑工程学院 副教授
杨宇，上海交通大学，船舶海洋与建筑工程学院 博士研究生
