数学方程是我们了解世界的独特窗口，它们让现实变得有意义，帮助我们看到了以往未曾注意到的东西。因此，数学上的新进展往往伴随着我们对宇宙的理解进一步加深。接下来，就让我们来了解一下历史上著名的9个方程，从微小的粒子到浩瀚的宇宙，它们彻底改变了人类看待世间万物的方式。
勾股定理
人们在学校里学到的第一个重要的三角函数就是直角三角形边长之间的关系：两条直角边（较短的直角边古称勾长，较长的直角边古称股长）的长度的平方和等于斜边长（古称弦长）的平方。这条定理通常被写为：a^2 + b^2 = c^2。从古巴比伦时代起，该定理至少已存在了3700年。
勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一。英国苏格兰圣安德鲁斯大学的研究者认为，古希腊数学家毕达哥拉斯写下了该定理今天被广泛使用的方程形式，现代西方数学界也因此称其为“毕达哥拉斯定理”。除了在建筑、导航、制图和其他重要过程中有所应用外，勾股定理还帮助扩展了数字的概念。公元前5世纪，梅塔庞通（Metapontum）的数学家希帕索斯注意到，如果一个等腰直角三角形两条腰长度为1，则其底边长便是根号2（），这是一个无理数（在此之前的历史中，还没有人见过这样的数）。根据剑桥大学的一篇文章，希帕索斯据说是被扔进海里的，因为毕达哥拉斯的追随者（包括希帕索斯）对所谓的“无限不循环小数”感到非常震惊和恐慌。当时的毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，世界上只有整数和分数（有理数），希帕索斯的发现引发了第一次数学危机。
F = ma和万有引力定律
艾萨克·牛顿是英国乃至人类科学史上最杰出的人物之一，提出了大量改变世界的发现，其中就包括牛顿第二运动定律。该定律指出，力等于物体的质量乘以加速度，通常写作F = ma。通过对这一定律的扩展，结合其他实验观测结果，使牛顿在1687年描述了我们今天所谓的万有引力定律：F = G （m1 * m2） / r^2，其中F是两个物体之间的万有引力，m1和m2是两个物体的质量，r是它们之间的距离；G是一个基本常数，称为万有引力常数，它的值必须通过实验测量。据记载，卡文迪许第一个在实验室内完成了测量两个物体之间万有引力的实验，准确求出了万有引力常数和地球质量，其他人则借助他的实验结果求得了地球密度。
牛顿第二定律被誉为经典力学的灵魂，能够主导各种物体运动和物理现象，其用途也非常广泛。牛顿运动定律的许多概念也被用于理解各种复杂的物理系统，包括太阳系中行星的运动，以及如何使用火箭在它们之间旅行。
波动方程
利用牛顿提出的运动定律，18世纪的科学家们开始分析他们周围的一切。据2020年发表在《历史研究进展》（Advances in Historical Studies）杂志上的一篇论文介绍，博学多才的法国物理学家、数学家和天文学家让·勒朗·达朗贝尔在1743年推导出了一个描述弦振动或波动现象的方程。该方程可以写作：
1/v^2 * ∂^2y/∂t^2= ∂^2y/∂x^2
在这个方程中，v是波的速度，其他部分描述的是波在一个方向上的位移。利用扩展到二维或多维的波动方程，研究人员得以预测水、地震波和声波的运动。该方程也是量子物理学中薛定谔方程的基础，后者使许多现代计算机设备成为可能。
傅里叶方程
无论你有没有听说过法国数学家、物理学家让-巴蒂斯特·约瑟夫·傅里叶男爵，他的工作都早已影响了你的生活。他在1822年写下的数学方程使研究人员能将复杂、混乱的数据分解成简单波的组合，从而更容易分析。根据《耶鲁科学》（Yale Scientific）杂志上的一篇文章，傅里叶变换的基本思想在提出时是一个激进的概念，许多科学家拒绝相信复杂的系统可以简化到如此优雅的程度。然而，在今天的许多现代科学领域，包括数据处理、图像分析、光学、通信、天文、工程、金融、密码学、海洋学和量子力学等领域中，傅里叶变换有着广泛的应用。例如在讯号处理中，傅里叶变换的典型用途就是将讯号分解为振幅分量和频率分量。
麦克斯韦方程组
电和磁在19世纪还是全新的概念，当时的学者们都在研究如何捕捉并利用这些奇怪的物理现象。1864年，苏格兰数学家和物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦发表了一个包含20个方程的方程组，描述了电场和磁场如何产生作用，以及它们之间的相互关系。该方程组极大地促进了我们对这两种现象的理解。现在，麦克斯韦方程组由四个一阶线性偏微分方程组成，分别是描述电荷如何产生电场的高斯定律、表明磁单极子不存在的高斯磁定律、解释时变磁场如何产生电场的法拉第感应定律，以及说明电流和时变电场如何产生磁场的麦克斯韦-安培定律。这个方程组是所有大学一年级的物理系学生都要学习的内容，也为现代科技世界中所有的电子方程奠定了基础。
E = mc ^ 2
如果没有这个著名的方程，任何一个变换方程列表都不可能是完整的。1905年，阿尔伯特·爱因斯坦首次提出了质能等价的概念，即E = mc^2，这是他开创性的狭义相对论的一部分。E = mc^2表明，物质和能量是同一个事物的两面，方程中E代表能量，m代表质量，c代表恒定的光速。如此简单的方程中所包含的概念，至今仍让许多人难以理解，但如果没有E = mc ^ 2，我们就无法理解宇宙中恒星的存在，也不知道如何建造像大型强子对撞机这样的巨型粒子加速器，更无法一窥亚原子世界的本质。可以说，这个方程已经成为人类历史上最著名的方程之一，并成为了文化的一部分。
弗里德曼方程
用一组方程来定义整个宇宙，听起来似乎是一个狂妄自大的想法，但这正是俄罗斯物理学家亚历山大·弗里德曼在20世纪20年代所提出的重要思想。利用爱因斯坦的相对论，弗里德曼指出，从大爆炸开始，膨胀宇宙的特征可以用两个独立的方程来表示。
这两个方程把宇宙的所有重要参数，包括宇宙的曲率、宇宙包含多少物质和能量、宇宙扩张的速度，与一些重要的常数，如光速、重力常数和哈勃常数等结合起来。这是一个在广义相对论框架下，描述空间上均一且各向同性的膨胀宇宙模型。众所周知，爱因斯坦并不喜欢宇宙膨胀或收缩的观点，他的广义相对论认为，这些情况的发生是收到了引力的影响。爱因斯坦试图将一个标为“λ”变量添加到爱因斯坦方程中，作为宇宙学常数，使方程能有静态宇宙的解。在哈勃提出膨胀宇宙的观测结果——哈勃红移——之后，爱因斯坦放弃了宇宙学常数，并认为这是他“一生中最大的错误”。不过，几十年后，这一概念又被重新拾起。研究者认为宇宙学常数尽管值很小，但可能不为0；而且该常数可能以暗能量的形式存在，而暗能量推动着宇宙的加速膨胀。
香农信息方程
大多数人都熟悉构成计算机二进制数字的0和1。但是，如果没有美国数学家和工程师克劳德·香农的开创性工作，这一关键概念就不会发展起来。在1948年一篇的重要论文中，香农提出了一个方程，用来表明信息传输的最大效率，通常写作：C = B * 2log（1+S/N）。式中，C为特定通信通道可达到的最高无错误数据速度，B为通道带宽，S为平均信号功率，N为平均噪声功率（S / N表示系统的信噪比）。这个方程的输出以每秒比特数（bps）为单位。在1948年的论文中，香农将比特（bit）作为“二进制数字”（binary digit）的缩写，并将其概念归功于数学家约翰·W·图基。
罗伯特·梅的单峰映象
非常简单的事情有时会产生难以想象的复杂结果。这个不言自明的道理看起来似乎并不怎么激进，但直到20世纪中期，科学家们才完全理解了这个概念的重要性。当时，混沌理论领域刚刚崛起，研究人员发现，只具有少数部分反馈的系统可能会产生随机和不可预测的行为。1976年，澳大利亚物理学家、数学家、生态学家罗伯特·梅在《自然》（Nature）杂志上发表了一篇题为《简单的数学模型与非常复杂的动力学》（Simple mathematical models with very complicated dynamics）的论文，提出了单峰映象（logistic map），在数学上可写作：xn+1 = k * xn（1 - xn）。这是一个由简单非线性方程产生混沌现象的经典范例。
Xn表示当前系统中的某个量，它通过（1 - Xn）所描述的部分对自身进行反馈。K是常数，xn+1表示下一时刻的系统。尽管该方程看起来很简单，但不同的k值会产生非常不同的结果，包括一些复杂和混乱的行为。罗伯特·梅的单峰映象被用于解释生态系统中的种群动态，还能为计算机编程生成随机数。