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研究人员为1779年的欧拉“三十六军团”排列问题赋予黄金量子解

2022-01-12 21:47:47 cnBeta.COM
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PDF 截图(via Arvix.org)

在“五品五团”或“七品七团”的情况下,这个问题是相对容易解决的。但在 6×6 的情况下,欧拉发现这个问题似乎无解,尽管当时他无法给出严格的证明。

一个多世纪后,法国数学家加斯顿·塔里(Gaston Tarry)终于给出了实际的证明,即我们无法将 36 名军官排列在 6×6 的正方形场景中。

然后 1960 年,数学家们借助计算机证明了此类问题可在 n>2 的任意平方(军团 / 军衔)假设下存在 —— 但奇怪的是,6×6 序列竟被排除在外。

事实上,在过去 2000 多年时间里,类似的谜题一直深深地吸引着人们投入探索。为了更好地理解,我们已经见过各种各样的“数字阵列魔方”、甚至充满符号的“拉丁方”。

PDF 截图(via QCrypt)

有趣的是,尽管欧拉认为不存在 6×6 的矩阵解,但来自印度和波兰的一支量子物理学家团队,却于近日提交给《物理评论快报》上的一篇新文章中,给出了一组量子解。

作为数字队列 / 拉丁魔方解题方法的量子衍生方法,只要这些军官的军衔和军团都具有量子混合(叠加)态,它便符合欧拉标准的 6×6 排列方法。

而且除了游戏娱乐,该方法同样适用于量子通信和计算应用。未参与这项研究的因斯布鲁克大学量子物理学家 Gemma De las Cuevas 认为,这篇论文讲述的解题理念让人眼前一亮。

2016 年,当时还在剑桥大学的 Jamie Vicary 与他的学生 Ben Musto,提出了可将拉丁方格中的条目量子化的设想,然后很快被一群对其深感兴趣的理论物理学家和数学家们所采纳。

去年,法国物理学家 Ion Nechita 和 Jordi Pillet 更是打造了数独的量子版本。可知在 SudoQ 中,行、列、及其子方格各有 9 个垂直向量,而不是 0~9 的整数。

(图自:Olena Shmahalo / Quanta Magazine)

在此基础上,波兰雅盖隆大学博士后研究员 Adam Burchardt 与同事们重新审视了欧拉关于 36 军官的旧谜团。

在该问题的经典版本中,这 36 名军官可被想象成五颜六色的棋子,以及王、后、象、马、车、兵 6 级。

但在量子版本中,军官却具有军衔与军团的叠加形态。更重要的是,这种特殊的纠缠关系,使之涉及不同实体之间的相关性。

举个例子,若一个“红色国王”与一个“橙色皇后”纠缠在一起,那么即使国王和皇后都处于多个军团的叠加状态。

只要观察到国王是红色、便可立即推出皇后是橙色 —— 意味着每条线上的军官都可垂直。

该理论似乎很有效,但为证明这一点,作者必须构建一个充满量子军官的 6×6 阵列。大量潜在的配置和纠缠,意味着他们必须依靠计算机的帮助。

为此,研究人员插入了一个经典的近似解、并应用了一种算法,以将排列调整为真正的量子解。该算法的工作原理,类似于暴力穷举魔方。

算法会先尝试修复第一行,然后是第一列、第二列,以此类推。随着算法一遍遍地重复,谜题阵列就越来越接近真正的解。

最终,研究人员看到了对应的模式、并手动填入剩余的少数条目。在某种程度上,欧拉的观点被证明是错误的 —— 尽管 18 世纪的人们尚未知晓量子的概念。

研究合著者,印度理工学院马德拉斯分校物理学家 Suhail Rather 表示,他们的解法有一个令人惊讶的特点 —— 军衔仅与相邻等级纠缠在一起,军团也彼此相邻。

另一个惊喜是出现在量子拉丁方格中的系数,其本质是告诉你在叠加态中赋予不同项的多少权重。奇怪的是,该算法所采用的系数比率是 Φ,也就是著名的黄金比例 —— 1.618 。

于是该解法也被称作绝对最大纠缠态(AME),作为一种量子对象的排列,它被认为对包括量子纠错在内的许多应用都至关重要(计算机中的冗余信息存储方式,以防数据有损坏)。

在 AME 中,量子对象的测量值之间的相关性尽可能强:假设 Alice / Bob 是一对纠缠的硬币,则 Alice 在抛出正面后,那 Bob 必然是背面(反之亦然)。

两枚硬币可最大程度地纠缠在一起,甚至三枚也可以,但四枚就不行。如果 Carol 与 Dave 也参与其中,那 Alice 将永远无法确定 Bob 到底得出什么结果。

然而新研究表明,如果你有一组四纠缠的骰子(而不是硬币),它们就可实现最大程度的纠缠 —— 相当于 6×6 的量子拉丁阵列。

由于答案中存在黄金比例,研究人员亦将之称作“黄金 AME”。

责任编辑:bH_03116

关键词: 科学探索 研究人员为1779年的欧拉“三十六军团”排列问题

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